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3种方法巧解不定方程题

发布:2023-06-09 字号: | | 我要提问我要提问
  方程法是解决行测数量关系题目的重要方法之一,对大多数考生而言,解普通方程难度不大,但是求解不定方程,除了最基本的代入排除之外,还能如何更快、更准确地解出正确答案呢?今天小编就带大家来了解一下:
 
  一、不定方程的定义
 
  当未知数的个数大于独立方程的个数时,我们称这样的方程为不定方程。在实数范围内,不定方程的解会有无数组,是不固定的。
 
  二、正整数范围内求解不定方程
 
  解不定方程时根据未知数的取值特点进行讨论,会大大减少讨论的次数,所以根据不定方程的特点,常用的解不定方程的方法除代入排除外,还可结合整除、奇偶性和尾数法等多种方法求解。
 
  1.看到系数和常数有公约数,优先想整除
 
  【例1】小张的孩子出生的月份乘以29,出生的日期乘以24,所得的两个乘积加起来刚好等于900,问孩子出生在哪一个季度?
 
  A.第一季度
 
  B.第二季度
 
  C.第三季度
 
  D.第四季度
 
  答案:D
 
  【解析】设出生月份为x,出生日期为y,月份和日期都是正整数,则29x+24y=900,问题为出生的哪一季度,需要知道小张孩子出生的月份,即x的值。由于24、900有公约数12,即都是12的倍数,所以29x也应是12的倍数,且29并不是12的倍数,则x应是12的倍数,即出生月份为12月,也就是第四季度。选择D选项。
 
  方法总结:在不定方程中,当其中一项未知数的系数与常数项有除1外的公约数时,可结合整除特性分析排除错误选项。
 
  2.系数有奇有偶,方程不用愁
 
  【例2】某单位向希望工程捐款。其中部门领导每人捐50元,普通员工每人捐20元,部门所有人共捐款320元,已知该部门总人数超过10人,问该部门可能有几名部门领导?
 
  A.1
 
  B.2
 
  C.3
 
  D.4
 
  答案:B
 
  【解析】设领导有x人,普通员工y人,人数必须为正整数,则50x+20y=320,化简得5x+2y=32。32和2y是偶数,则 5x必然是偶数,x为偶数,排除A、C。若领导有4人,\总人数没有超过10,若领导有2人,\总人数超过10人,故领导为2人,答案选B。
 
  方法总结:在不定方程中,当未知数的系数为一奇一偶时,可结合奇偶性分析,排除错误选项。
 
  3.系数是5的倍数,尾数来帮你
 
  【例3】现有451个同样大小的橙子装入大、小两种袋子中,已知大袋每袋装20个橙子,小袋每袋装17个橙子,每个袋子都必须装满,问至少需要小袋子的个数:
 
  A.5
 
  B.3
 
  C.13
 
  D.9
 
  答案:B
 
  【解析】设大袋子有x个,小袋子有y个,根据题意小袋子、大袋子共装了451个橙子,可列方程 20x+17y=451。由于x、y 均为整数,20x的尾数一定为0,则17y的尾数必为 1,排除 A、D,代入B符合题意。
 
  方法总结:当不定方程的解有正整数范围限制时,若未知数的系数是5的倍数,那么该项的尾数就是0或5,就可以结合常数项的尾数将另外一项的尾数确定,进而排除错误选项。
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